三角比(1)

先生:このページでは、三角比について勉強しましょう。

生徒:三角比はどのようなことを考えるのでしょうか。

先生:そうですね。下の図を見て下さい。


先生:さて、木の高さは何mになるのでしょうか。また、どうやって木の高さを調べますか。

生徒:実際に測ってみてはどうですか?

先生:それは、ちょっと無理があると思います。何か良いアイデアは、ありませんか。

生徒:そうですね、この絵を縮小した図を用いて求めることができると思います。

先生:そうですね。点線で囲まれた直角三角形を用いて調べてみましょう。ただし、
    木のてっぺんをA' , 人の目線の位置をB' , A'から垂直に下ろした垂線と人の目線との交点をC'とします。

先生:この直角三角形A'B'C'を縮小した直角三角形ABCの図を用いて考えましょう。

先生:直角三角形ABCは、縮小した図なので3辺の長さは求めることができます。

先生:そこで、2つの直角三角形は相似ですから、相似な三角形の性質から辺B'C'の長さを求めることができます。

先生:このように、直接測定できないものの高さなどを求めることができるようになります。

先生:下図の2つの直角三角形を見てください。



先生:この直角三角形ABC , A'B'C'において、∠A=∠A'ならば △ABC ∽ △A'B'C'となります。

先生:したがって、相似である三角形の辺の比は等しいので、

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   となります。

先生:2つの比が等しいので、それらの比の値は等しくなりますね。すなわち、

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   となります。

先生:このように∠Cが直角である直角三角形ABCにおいて、 created by webMathematica の値は、直角三角形ABCの大きさに関係なく、
   ∠Aの大きさによって定まります。

先生:また、同様に、 created by webMathematica , created by webMathematica の値も直角三角形の大きさに関係なく、∠Aの大きさによって定まります。

先生それでは、このことを確かめてみましょう。

先生:確かめることができましたか?

生徒:はい、できました。

先生:では、新しい言葉を導入しましょう。

     


    上図の直角三角形ABCにおいて、

    created by webMathematica を 角θ の サイン または 正弦 といい、 created by webMathematicaで表す。

    created by webMathematica を 角θ の コサイン または 余弦 といい、 created by webMathematicaで表す。

    created by webMathematica を 角θ の タンジェント または 正接 といい、 created by webMathematicaで表す。


   タンジェントとサインおよびコサインをまとめて三角比という。


生徒:先生、質問があります!!"θ"は、何と読むのでしょうか?

先生:"θ"は、ギリシャ文字で、"シータ"と呼びます。よく使いますので、これを覚えておいてください。

先生:さて、三角比をもう少しすっきりとした形で書いておきましょう。

        

生徒:先生、何か具体例を挙げてもらえませんか?


先生:では、よく使われるθの値のときを見てみましょう。下の三角形と対応する三角比の値を見てください。





  

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先生:確認できましたか?これらの三角比の値は重要なので、しっかりと導き出せるようにしておきましょう。

生徒:先生、質問があります!!

先生:何でしょうか?

生徒:例えば、θの値が20° , 55°, 78°のときの三角比の値も求めることができますよね?

先生:もちろんできますよ。数学Iの教科書の巻末には、三角比の表が載っています。

先生:これは、1°ごとの角について、三角比の値を載せています。これを見れば、三角比の値がわかります。

生徒:先生!!そんなこと言ったら、WEB教材の意味がないじゃないですか!!

先生:えっ!・・・すいません。そうでした。

先生 では、θの値を変えて、三角比の値を求めてみましょう。

先生:では、三角比の値に慣れてもらったので、次のテーマへ進みましょう。

生徒:次のテーマは、何ですか?

先生:先ほどの三角比の定義を思い出しましょう。

  
    
    この3つの等式の右辺の分母をはらうと
     
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    となりますね。

先生:これらの等式から、斜辺 c と鋭角θから他の2辺を求めることができます。
   また、底辺 b と鋭角θから対辺(高さ)を求めることができます。

先生それでは、例題を見てみましょう


先生:ここで、三角比の相互関係について考えてみましょう。

   三角形の高さと底辺は、三角比を用いて  created by webMathematica= created by webMathematica , created by webMathematica= created by webMathematicaとなります。
   よって、
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   また、三平方の定理により

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   ゆえに、
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   両辺を created by webMathematica で割って、次の等式が得られます。

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   さらに、この等式の両辺を created by webMathematica で割ると

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   created by webMathematica= created by webMathematica であるから

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先生:以上の三角比の相互関係をまとめると次のようになりますね。

1.  created by webMathematica= created by webMathematica  2.  created by webMathematica+ created by webMathematica= created by webMathematica  3.  created by webMathematica= created by webMathematica



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